<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
         Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06264-4  

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Sumrio
 
 Quarta Parte

 Captulo 7

 Potncias e razes :::::::: 371
 Expoentes menores 
  que 1 ::::::::::::::::::: 371
 Notao cientfica :::::::: 382
 Propriedades das
  potncias :::::::::::::::: 391
 Razes :::::::::::::::::::: 407
 Ao --
  Tiro ao alvo :::::::::::: 417
 Extraindo razes :::::::::: 422
 Um toque a mais --
  Bytes, quilobytes,
  megabytes, 
  gigabytes... ::::::::::::: 434

 Captulo 8

 Estatstica e
  possibilidades ::::::::::: 442
 Ao --
  Jogos com dados ::::::::: 442
 Possibilidades e 
  chances :::::::::::::::::: 444
 Tratamento de dados ::::::: 463
 Tirando concluses com
  estatstica :::::::::::::: 485
 Ao --
  Concluses a partir de
  uma amostra :::::::::::::: 491
 Um toque a mais --
  Estatstica: de onde
  vem? ::::::::::::::::::::: 504

<125>
<Tmat. i. & l. 8>
<T+371>
 Captulo 7

 Potncias e razes

 Expoentes menores que 1

  Voc j conhece a potenciao, isto , a operao de elevar uma base a um expoente. Por exemplo, para obter o volume de um cubo 
com 4 cm de aresta, elevamos 4  terceira potncia, obtendo o volume 43 cm3=64 cm3.
  Este captulo ser dedicado a essa operao, suas propriedades, algumas de suas aplicaes e tambm  operao inversa da 
potenciao, que se chama radiciao.

<R+>
_`[{um menino e uma menina conversam; o menino diz: "Potenciao? J sei tudo! Quer ver? 2 elevado  terceira  2 vezes 2 vezes 2. 
D 8". A menina pergunta: "Ah, ? Ento quanto 
<p>
   2 elevado a zero?". O menino responde: "Zero? Ih! Nisso nunca pensei!"_`]
<R->

  Vamos descobrir quanto  2 elevado a zero. Observe na sequncia seguinte que, enquanto os expoentes diminuem uma unidade, os resultados so divididos por 2:
 24=16
 23=8
 22=4
 21=2
 20='''
  Observando o padro na sequncia de clculos, percebe-se que 20 deve ser igual a 1. Esse mesmo raciocnio pode ser feito com outros nmeros:
 103=1.000
 102=100
 101=10
 100=1
 -53=-125
 -52=25
 -51=-5
 -50=1
<126>
<p>
  No entanto, no podemos usar esse raciocnio quando a base  zero. Nesse caso, teramos de dividir por zero, o que no pode ser 
feito. Por isso, conclumos que todo nmero, exceto o zero, elevado a zero d 1. Esse fato geral pode ser expresso numa sentena 
matemtica bem curta. Veja: x0=1 se x=0.

<R+>
_`[{um menino e uma menina conversam; a menina fala: "Calculamos 23, depois 22, depois 21, depois 20. Ser que podemos 
continuar?". O menino responde: "Continuar com 2-1, 2-2? Ficou maluca?"_`]
<R->

  J h muito tempo que os matemticos estenderam a potenciao aos expoentes negativos. Por exemplo, para calcular 2-1, 2-2, 
10-1 ou 10-2 etc., basta continuar as sequncias que j vimos:
 22=4
 21=2
 20=1
 2-1=#,b
 2-2=#,d
 2-3=#,h
 102=100
 101=10
 100=1
 10-1=110
 10-2=1100
 10-3=11.000
  Observe agora estes detalhes:
 2-2=#,d=#,b2
 2-3=#,h=#,b3
 10-2=#,ajj=#,aj2
  Daqui, podemos obter uma regra prtica para calcular potncias de expoente negativo. A regra pode ser resumida nesta sentena 
matemtica: x-n=1xn se x=0.

<R+>
_`[{em uma sala de aula, aluno e professora conversam; o aluno diz: "S me ficou uma dvida: 2 elevado a menos 3 no  uma multiplicao 
de fatores iguais a 2. Mas eu tinha aprendido que a potenciao  uma multiplicao de fatores iguais...". A professora diz: "A 
potenciao pode ser mais do que aquilo que voc aprendeu antes..."_`]
<R->

<127>
  Neste item, voc provavelmente ampliou seus conhecimentos sobre a potenciao. Agora sabe que o expoente no precisa ser um nmero natural e pode ser qualquer nmero inteiro. As vantagens disso vo aparecer logo mais.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) No texto,  citado o exemplo do uso das potncias no clculo do volume de um cubo. Cite outro exemplo de uso das potncias.
 b) Qual  o resultado de 10 elevado  quinta potncia?
 c) E qual  o resultado de 10 elevado  potncia menos 5?
<p>
 d) O texto explica por que 2 elevado a zero d 1. Explique isso com suas palavras.
 e) Qual  a regra prtica para calcular potncias de expoente negativo? Explique com suas palavras.
 f) Veja a conversa entre aluno e professora no final do texto. Explique essa conversa.

 Exerccios

 1. Copie e complete em seu caderno:
 73=343
 72='''
 71='''
 70='''
 7-1=#,g
 7-2='''
 7-3='''
 -33=-27
 -32=9
 -31='''
 -30='''
 -3-1='''
<p>
 -3-2='''
 -3-3=''' 
 0,23=0,008
 0,22=0,04
 0,21='''
 0,20='''
 0,2-1=5
 0,2-2='''
 0,2-3=''' 

 2. Veja duas maneiras de calcular #;c-2:

 Maneira 1

 #;c-2=1#;c2=1~#i=
  =1#i=1.#*d=#*d

 Maneira 2

 #;c-2=#:b2=#*d

_`[{o menino diz: "O inverso de #;c  #:b. J vimos no captulo de fraes"_`]

<128>
<p>
  Agora calcule do jeito que preferir:
 a) #,e-2
 b) -#:d-3
 c) #;e-3
 d) -#,aj-4

 3. Faa o que se pede.
 a) Escreva, em seu caderno, as potncias de base 10 e expoentes 1, 2, 3 e 4. No se esquea dos resultados.
 b) Nessas potncias, qual  a relao entre o nmero de algarismos zero do resultado e o expoente?
 c) Agora escreva, na forma decimal, as potncias de base 10 e expoentes -1, -2, -3 e -4. *Dica*: na forma decimal, 10-1 d 0,1.
 d) Nas potncias do item c), se o expoente  -n, o resultado tem *n* zeros?
 e) Nas potncias do item c), se o expoente  -n, o resultado tem quantos zeros  direita da vrgula?
<p>
 4. Veja:
  Cem mil =100.000=105.
  Agora, copie e complete em seu caderno:
 a) Um milho =1.000.000=10'''
 b) Dez milhes ='''=10'''
 c) Um bilho =
  =1.000.000.000=10'''
 d) Cem bilhes ='''=10'''

 5. Copie e complete em seu caderno:
 a) Um dcimo ='''=10'''
 b) Um milsimo ='''=10'''
 c) Um dcimo de milsimo =
  =0,0001=10'''
 d) Um milionsimo =
  =0,000001=10'''

_`[{um homem diz: "Milionsimo, voc sabe o que ?  a milsima parte do milsimo!"_`]
<p>
 Problemas e exerccios para casa

 6. Veja a sequncia:
 55=15=0,25=0,045=
  =0,0085=0,0016
  Use a sequncia e d os resultados, na forma decimal:
 a) 51
 b) 50
 c) 5-3
 d) 5-4

 7. No caderno, copie e complete com o resultado. Usando um pouco de esperteza, voc no precisar fazer contas.
 a) ?2,34-2*-2,75.
  .137-30='''
 b) 1123.456-1='''
 c) #;c-1-1='''
 d) 123.4561123.456-1='''

 8. Suponhamos que a letra *x* represente um nmero desconhecido. Escrevendo: 101<x<102, estamos dizendo que *x*  um nmero entre 
101=10 e 102=100. Nesse caso, *x* pode ser 11 ou 34,6 ou 98,00013 e isto significa que *x* tem dois algarismos na parte inteira. 
Diga, ento, quantos algarismos tem a parte inteira de *x* nos casos seguintes.
 a) 103<x<104
 b) 105<x<106

 9. Copie as sentenas em seu caderno e complete-as, substituindo ''' pelo sinal > (maior que) ou < (menor que). *Dica*: relembre o 
exerccio 3.
 a) 10-2'''10-3
 b) 0,001'''10-2
 c) 0,000005'''10-6
 d) 0,00004'''10-4

 10. Calcule:
 a) 7-3
 b) 15-2
 c) 2-6
 d) #,c-4
 e) #:e-1
 f) #;g-2
<R->

<129>
 Notao cientfica

  No item anterior, ampliamos seus conhecimentos sobre a potenciao. Isso ser til agora, quando voc vai conhecer um uso da potenciao bastante comum em livros cientficos.
  Alguns cientistas trabalham com medidas muito grandes.  o caso dos astrnomos, que precisam de nmeros de muitos algarismos. Com 
as potncias, esses nmeros podem ser escritos de maneira mais curta, facilitando a leitura. Por exemplo: a distncia aproximada 
entre nosso planeta e o Sol  de 150.000.000 km. Em textos cientficos, esse nmero  escrito assim: 1,5108 km.
  Multiplicando 1,5 por 108, a vrgula avana 8 casas para a direita. Temos, ento, um nmero de 9 algarismos, ou seja, os 150 milhes.
  Os bilogos, por sua vez, lidam muitas vezes com a situao oposta, porque trabalham com medidas expressas por nmeros muito pequenos. Tambm nesse caso aparecem nmeros que podem ser escritos de maneira mais curta com potncias. S que, neste caso, as potncias tm expoentes negativos.
  J sabemos como ficam as potncias negativas de 10 na forma decimal: 10-1=0,1; 10-2=0,01; 10-3=0,001 etc.
  Agora, veja um exemplo: uma bactria tem, em mdia, 0,000005 gramas. Esse nmero pode ser escrito assim: 0,000005 g ou 50,000001 g ou 510-6 g.
  Repare: 0,000005 tem 6 casas decimais. Por isso, multiplicamos 5 por 10-6. Veja mais um exemplo: 

<R+>
 0,0000052=5,210-6
 0,0000052 -- 7 casas decimais
 5,210-6 -- 1+6 casas decimais
<R->

  O uso das potncias de 10 para representar nmeros caracteriza a notao ou escrita cientfica.  assim que esses nmeros so 
expressos em textos cientficos. Essa notao facilita a leitura, a compreenso e tambm os clculos. Em notao cientfica, os 
nmeros tm sempre esta forma:

<R+>
 nmero entre 1 e 10 :o '''10''' : expoente negativo ou positivo
<R->

  Voc j conhece um pouco de Biologia, Qumica e Fsica e prosseguir estudando essas e outras cincias. O que aprendeu sobre 
notao cientfica lhe ser muito til.

<130>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Cite um "nmero grande", como esse da distncia Terra-Sol. (Vale procurar no livro de Cincias ou no de Geografia.) Escreva-o, no quadro-de-giz, usando a notao cientfica.
<p>
 b) Cite agora um exemplo de "nmero pequeno" e escreva-o usando a notao cientfica.
 c) Uma viagem de avio do Rio de Janeiro at Nova York leva em torno de dez horas, porque a distncia que separa essas duas cidades  de cerca de 10 mil quilmetros. Desenvolvendo essa mesma velocidade, quanto demoraria uma viagem de 10 milhes de quilmetros? E uma viagem at o Sol?
 d) Explique, com suas palavras, o que  notao cientfica.
 e) Explique a seguinte afirmao: *Com as potncias podemos escrever nmeros muito grandes ou muito pequenos, usando poucos algarismos*.
<p>
 Problemas e exerccios

 11. No caderno, copie e complete trocando ''' pelo nmero correto:
 a) 7.000.000.000=7
  1.000.000.000=710'''
 b) 5.500.000.000=5,5'''=
  =5,510'''
 c) 0,0007=70,00001=
  =710'''
 d) 0,000075=7,50,00001=
  =7,510'''
 e) 0,000000009=
  =9'''=910'''
 f) 0,0000000096=9,6
  0,000000001=9,610'''

 12. Em 2005, a populao de nosso planeta era de aproximadamente 6.500.000.000 de pessoas. Como se escreve esse nmero em notao cientfica?
 13. Veja a sugesto de Maria do Carmo e escreva 0,000000052 em notao cientfica.
<p>
_`[{maria do Carmo diz: "O nmero 5,2 tem uma casa decimal. Preciso chegar num nmero com nove casas decimais. Ento, multiplico 5,2 
por..."_`]

 14. Certas calculadoras tambm escrevem em notao cientfica. Veja os exemplos:

_`[{visor com a notao: 2.-05_`]
 Legenda: Isto significa 210-5. A base 10 e o sinal de multiplicao no aparecem.

_`[{visor com a notao: 3.1-05_`]
 Legenda: Voc sabe: nas calculadoras, a vrgula  um ponto.

 a) Escreva na forma decimal os nmeros que esto indicados nos visores acima.
 b) O que voc acha: quem tem calculadora no precisa saber Matemtica? Ou ser o contrrio: para usar bem a calculadora,  preciso conhecer Matemtica?

 15. A distncia mnima entre a Terra e Marte  de, aproximadamente, 7,8107 km. Para voc ter uma ideia de quanto essa distncia  
grande, calcule quantos dias voc demoraria para ir at Marte num jato comercial. Esse avio faz, aproximadamente, 1.000 km por hora. 
*Dica*: voc precisa saber quantas vezes 1.000 km cabem em 7,8107 km. Para isso, voc deve dividir 7,8107 por 1.000. Fica mais 
fcil se voc dividir apenas 107 por 1.000.

<131>
 Problemas e exerccios para casa

 16. No caderno, copie e complete:
 a) 3.500.000=3,510''' 
 b) 1.100.000.000=1,110''' 
 c) 10.000.000=10''' 
 d) 0,000002=210'''
 e) 0,0000023=2,310'''
 f) 0,000000005=510'''

 17. _`[{a professora pergunta: "Quanto  5 vezes... 10 elevado a menos 5?". O aluno responde: "510-1  0,5; 510-2  0,05; 
510-3  0,005. Ah! 5 vezes 10 a menos 5 tem cinco casas decimais! D 0,00005"_`]

  Agora  sua vez. No caderno, escreva na forma decimal:
 a) 710-4
 b) 7,510-4
 c) 210-6
 d) 2,110-6

 18. Copie e complete em seu caderno:
 a) 21.000.000.000 tem ''' algarismos. Em notao cientfica, escrevemos 2,1 e depois fazemos a vrgula avanar casas multiplicando 
por 10'''
 b) 0,00021 tem ''' casas decimais. Em notao cientfica, escrevemos 2,1 e depois multiplicamos por 10'''

 19. Em que est pensando o chins?

_`[{o chins pensa: "''''''''''''". A professora explica: "Ele est tentando imaginar 1 bilho e 300 milhes de pontos.  o nmero 
da populao chinesa"_`]

  Talvez voc possa ajudar nosso amigo. Escreva a populao da China em notao cientfica.
 20. Um vrus pequeno mede aproximadamente 0,000015 mm. Escreva essa medida em notao cientfica.
 21. Um desafio! Se o volume de uma gota de gua  510-5 L, quantas gotas existem em 1 litro de gua?
<R->

<132>
<p>
 Propriedades das potncias

  Se voc estudou o captulo 6 deste livro, voc viu que o raciocnio matemtico, analisando apenas um tringulo, descobre fatos que valem para todos os infinitos tringulos existentes. Neste item, voc vai ver que o raciocnio matemtico consegue fazer clculos fantsticos, que nem as calculadoras conseguem... e tudo isso sem muito esforo!
  Primeiro clculo fantstico: quanto d 3100 dividido por 398?

<R+>
_`[{o aluno diz: " fcil: vou fazer com calculadora!". A professora fala: "Impossvel! 3100  to grande que no cabe no visor!".
Olhando para o visor da calculadora, onde est registrado "43.046.721", ela diz: "Isso  igual a 316. O 317 j no cabe". O aluno 
fala: "Mas ento..."_`]
<R->

  Parece impossvel efetuar esse clculo, mas no . Vamos escrev-lo:
<R+>
3100398=?3.3. ... .
  .3.3.3.3*?3.3. ... .
  .3.3*
<R->
  Repare que as reticncias indicam os vrios fatores 3 que deveramos escrever na expresso. Agora, podemos simplificar essa frao. Como?  s ir dividindo numerador e denominador por 3. Fazemos isso 98 vezes e ficamos com...
<R+>
?3.3. ... .3.3.3.3*
  ?3.3. ... .3.3*=3.3=9
<R->
  Logo, 3100398=32=9. No  um clculo to difcil, no  mesmo?

<R+>
_`[{o rapaz diz: "Agora j sei o que fazer"_`]
<R->
<p>
  Segundo clculo fantstico: efetue ?3503100*3153.
<R+>
?3503100*3153=
  =?3.3. ... .3.3.3. 
  . ... .3*?3.3. ... .3*=1?3.3.3*=127
<R->
  Nos dois clculos fantsticos que acabamos de ver, podem ser percebidas duas propriedades da potenciao.

<133>
<R+>
 Na multiplicao de potncias de bases iguais, podemos conservar a base e somar os expoentes.
 Por exemplo: 350.3100=
  =3?50+100*=3150.
 Na diviso de potncias de mesma base, podemos conservar a base e subtrair os expoentes.
 Por exemplo: 3100398=
  =3?100-98*=32.
<R->

  Terceiro clculo fantstico: vamos efetuar 7103729.
  Se comeamos pelo clculo dentro dos parnteses, elevando 7  dcima potncia, resulta um nmero grande demais. Por isso, vamos 
proceder assim: 7103=
 =710.710.710=730.
  Veja que o expoente resultante  3.10=30 porque somamos trs expoentes 10.
  Agora, podemos completar o clculo: 7103729=730
 729=71.

<R+>
_`[{um samurai diz: "Aqui subtramos os expoentes, como j foi aprendido"_`]
<R->

  Neste clculo, voc pode perceber esta outra propriedade:

<R+>
Ao elevar uma potncia a um expoente, podemos multiplicar os expoentes. 
 Por exemplo: 7103=
  =7?10.3*=730
<R->

  Quarto clculo fantstico: efetuar 2.176177.
  Poderamos comear efetuando 2.17=34. Depois, deveramos elevar 34  sexta potncia, o que daria muito trabalho. Por isso, pensamos em elevar 2.17  sexta, multiplicando seis fatores iguais a 2.17. Voc imagina o que vai acontecer?
<R+>
2.176=2.17.2.17.
  .2.17. ... .2.17
<R->
  Aparecero seis fatores 2 e seis fatores 17. Por isso, temos: 2.176=26.176.
  Dessa maneira, podemos simplificar a frao inicial. Veja:
<R+>
2.176177=?26.176*
  177=2617=6417
<R->
  Neste clculo, podemos perceber mais uma propriedade da potenciao:

<R+>
Quando a base de uma potncia  uma multiplicao, podemos distribuir o expoente pelos fatores. Por exemplo: 2.176=26.176.
<R->

<134>
  Acompanhando os quatro clculos fantsticos, voc aprendeu importantes propriedades da potenciao, que so teis em outros clculos fantsticos: aqueles feitos por astrnomos ou qumicos que usam nmeros escritos com a notao cientfica. Voc tambm efetuar alguns clculos fantsticos em seus estudos de Matemtica e de Cincias.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) "Alguns alunos tm a propriedade de ser tagarelas." Nessa frase, o que significa a palavra propriedade? O que  uma propriedade de uma operao?
 b) A adio tem a propriedade comutativa, isto , nela pode-se trocar a ordem das parcelas sem alterar o resultado. (Repare que "comutar" significa "trocar".) D um exemplo dessa propriedade da adio.
 c) Quando multiplico potncias de mesma base, posso somar os expoentes. Explique com suas palavras por que essa propriedade  vlida.
 d) Para efetuar 210.35, tambm se devem somar os expoentes? Como proceder nesse caso?
 e) No segundo clculo fantstico, aps as simplificaes, sobraram apenas trs fatores 3 no denominador da frao. Explique isso.
 f) Nos clculos do texto, vimos quatro propriedades da potenciao. Quais so elas?
 g) Estas duas expresses so diferentes: 223 e 2?23*. Qual  o valor de cada uma?
 h) Ateno: -32  igual a -32?

 Problemas e exerccios

 22. Ler e entender o que foi lido  uma das competncias mais importantes. O objetivo deste exerccio  contribuir para que voc desenvolva ainda mais esse saber.
<p>
  Voc deve efetuar quatro clculos fantsticos. Cada um deles corresponde a um dos exemplos dados no texto, os quais voc precisar ler e interpretar corretamente. Efetue:
 a) 512514
 b) #,c6.#,c7#,c15
 c) 2?33*2214
 d) ?2.344*318

 23. A tabela seguinte traz os resultados de algumas potncias de base 5:

 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l 56=15.625 _ 51=5      _
 r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
 l 55=3.125  _ 50=1      _
 r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
 l 54=625    _ 5-1=0,2   _
 r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
 l 53=125    _ 5-2=0,04  _
 r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
 l 52=25     _ 5-3=0,008 _
 h:::::::::::::::j:::::::::::::::j
<p>
  Usando esses resultados e as propriedades das potncias, e sem efetuar clculos trabalhosos, encontre os resultados dos clculos seguintes.
 a) 55.5 
 b) 5-2.53 
 c) 52.5-4 
 d) 5557 
 e) 53-1
 f) 53.5-1
 g) 15.625625
 h) 12515.625

<135>
 24. As propriedades da potenciao podem ser resumidas em frmulas bem curtas, usando a linguagem da lgebra. No caderno, copie e complete:
 a) xm.xn=''' 
 b) xmxn=''' 
 c) xmn='''
 d) x.ym='''
<p>
_`[{a professora diz: "*x*  um nmero qualquer, exceto zero, porque, por exemplo, 02-2 no existe"_`]

 25. Faa o que se pede.
 a) A multiplicao tem a propriedade comutativa: a ordem dos fatores no altera o produto. D um exemplo.
 b) Calcule 52 e 25.
 c) Responda exemplificando: na potenciao, comutando-se a base com o expoente, o resultado permanece o mesmo?

 26. Divida 4,5107 por 1,5103.
 
 Resoluo

  Este clculo envolve nmeros em notao cientfica. Para efetu-lo, usamos propriedades das potncias.
  Escrevemos a diviso na forma de frao: ?4,5107*
  ?1,5103*
  Efetuamos 4,51,5=3. 
  ?3107*103
  Depois, trabalhamos com as potncias: 107103=104. Obtemos: 3104.

 27. Veja os valores aproximados dos dimetros da Terra e do Sol.
 Terra: 1,3103 km
 Sol: 1,4106 km
 a) Aproximadamente quantas vezes o dimetro da Terra cabe no dimetro do Sol? *Dica*: considere 1,41,3=1, que  uma aproximao razovel no caso.
 b) Desenhando em escala, se o dimetro da Terra tem 1 cm, quantos metros tem o dimetro do Sol?

 28. Nestes dois quadrados mgicos de multiplicao, o produto dos trs nmeros de cada linha, coluna ou diagonal  sempre o mesmo. No caderno, copie e complete os quadrados.
 a) Neste, o produto mgico  315.

 !:::::::::::::::::::
 l ''' _ '''   _ '''   _
 r:::::w:::::::w:::::::w
 l ''' _ 35 _ 3    _
 r:::::w:::::::w:::::::w
 l ''' _ '''   _ 38 _
 h:::::j:::::::j:::::::j

 b) Neste, o produto  1 (acredite!).

 !::::::::::::::::::::
 l '''   _ ''' _ '''    _
 r:::::::w:::::w::::::::w
 l 34 _ ''' _ 3-4 _
 r:::::::w:::::w::::::::w
 l '''   _ ''' _ 33  _
 h:::::::j:::::j::::::::j

 29. Simplifique cada expresso algbrica de modo que ela fique reduzida a uma s potncia.
 a) y9.y13.y8.y-10
 b) x54x15
<p>
 c) b310.b-13b23
 d) ?m8.m-7.m16*
  ?m4.m15*

 Problemas e exerccios para casa

 30. Escreva cada expresso como uma s potncia. No calcule as potncias.
 a) 1,112.1,113 
 b) 312.315310
 c) #,c33.#,c33#,c33
 d) 4710.47204730 
 e) 1323
 f) 23.535

<136>
 31. Com base nas regras de multiplicao de nmeros com sinais, pode-se concluir que, nas potncias, se a base  negativa e o expoente  par, o resultado  positivo. Por exemplo:
 -14=-1.-1.-1.
  .-1=1
  Essa regra tambm  vlida se o expoente  par e negativo. Por exemplo:
 -2-2=1-22=14
  Use essa informao e diga, apenas, se o resultado  positivo ou negativo (os poucos clculos necessrios devem ser feitos mentalmente):
 a) -24
 b) -2-4
 c) -23.-25
 d) -213-225

 32. Classifique cada sentena como verdadeira ou falsa:
 a) 3 elevado a 4  o dobro de 3 elevado a 2.
 b) 22.33  igual a 65, porque posso somar os expoentes e multiplicar as bases.
 c) Na multiplicao de potncias, s devo somar expoentes se as bases forem iguais.
 d) Se calculo 5 ao quadrado e elevo o resultado ao cubo, obtenho 5 elevado a 5.
 e) 2-5  menor que 2-1.
<p>
 f) Na diviso de potncias de mesma base, conservo a base e subtraio os expoentes, desde que a base no seja zero.

 33. D os resultados:
 a) #,b12#,b9
 b) #,e15#,e17
 c) 11341125
 d) 7.520
  ?719.592*
 e) 0,310.0,3-5.0,37
  0,310
 f) 72.1334
  78.1311

 34. Veja o que pensa a garota:

_`[{a aluna pensa: "Ser que essa igualdade est correta?". No quadro-de-giz est escrito: "3+52=32+52"_`]

  Voc vai tirar a dvida da garota.
<p>
 a) Calcule 3+52 comeando pela adio dentro dos parnteses.
 b) Calcule 32+52.
 c) Agora responda: a potenciao pode ser distribuda pelas parcelas da adio?

 35. A distncia mnima entre a Terra e o planeta Vnus  de 4,1107 km. Algumas naves terrestres (sem tripulantes) j visitaram Vnus. Essas naves viajam a cerca de 104 quilmetros por hora.
 a) Quantas horas, no mnimo, demora uma dessas naves para ir da Terra a Vnus, percorrendo a distncia mnima?
 b) A quantos dias, aproximadamente, esse tempo corresponde?

 36. a) Quantos algarismos tem o nmero 1030?
 b) E 10030, quantos algarismos tem? *Dica*: 100  igual a 102.
 c) E 1.00030?
<p>
 37. Faa simplificaes de modo que cada expresso algbrica fique reduzida a uma s potncia.
 a) p-7.p19.p-5.p-10.p-1
 b) g150.g50g208
 c) y620.y-10-2y95
 d) ?m35.m-10.m2-10.
  .m75*?m104.m10*
<R->

<137>
 Razes

  Qual  a rea de um quadrado em que cada lado mede 7 cm?

<R+>
_`[{a menina diz: "72=49. Logo, a rea  49 cm2!"_`]
<R->

  Quanto mede o lado do quadrado que tem rea igual a 81 cm2?

<R+>
_`[{a menina diz: "Tenho de achar o nmero que, elevado ao quadrado, d 81.  9. O lado mede 9 cm"_`]
<R->

  O segundo problema  o inverso do primeiro: conhecendo a rea do quadrado, calcula-se a medida do lado. Dizemos, na Matemtica, que se calculou uma raiz quadrada. Indica-se assim: 81=9. A raiz quadrada de 81  9 porque 9 elevado ao quadrado d 81.

<R+>
_`[{a professora diz: "A raiz quadrada de 81  igual a 9". O aluno diz: "E -9 ao quadrado? Tambm no d 81?"_`]
<R->

   certo que -9 ao quadrado d 81, porque -92=-9.
 .-9=81. Mas acontece que as operaes matemticas sempre tm resultado nico. Como se deseja que a radiciao seja uma operao matemtica, convencionou-se que a raiz quadrada de 81  o nmero positivo 9. O resultado de uma raiz quadrada nunca  negativo.
<138>
  Agora, das reas, passaremos aos volumes. Qual  o volume de um cubo com arestas de 5 cm?

<R+>
_`[{um rapaz fala: "5 ao cubo...  125. O volume  125 cm3"_`]
<R->
<p>
  E quanto mede a aresta de um cubo cujo volume  64 cm3?

<R+>
_`[{um rapaz diz: "'''3=64. Bem, 3 ao cubo d 27.  pouco... E 4 ao cubo... d 64.  4. A aresta mede 4 cm"_`]
<R->

  Dizemos que a raiz cbica de 64  igual a 4, porque 43=64. Indica-se assim: 364=4.
  No caso da raiz cbica, no aparece a dvida em relao a um resultado negativo, como aconteceu no caso da raiz quadrada. Veja:
-43=-4.-4.-4=-64.
  Por isso, o nmero negativo -4 corresponde  raiz cbica de -64. Usando smbolos, escrevemos: 3-64=-4.

 Por que o nome raiz? E seu
  smbolo, como surgiu?

  No sculo IX, os matemticos rabes imaginavam um nmero quadrado como algo que tinha uma origem, uma raiz. Por exemplo, a "origem" do 25 seria 5, ou, em outras palavras, 5 seria a raiz de 25. Da mesma forma, a medida do lado de um quadrado, que origina a rea, seria a raiz dessa rea.
  Quando os textos rabes tornaram-se conhecidos na Europa, passou-se a usar a palavra *radix* (raiz em Latim). No sculo XV, era costume abreviar essa palavra com a letra R. Por exemplo, R25 podia indicar raiz quadrada de 25.
  O smbolo atual pode ter surgido de uma modificao da letra *r* minscula e manuscrita _`[no sistema comum de escrita_`].

<139>
  Nas razes, usamos estes nomes:
 364=4
 3: ndice
 3: radical
 64: radicando
<p>
  Nas razes quadradas, o ndice  2.  costume no escrev-lo: #,i=#,c.
  Algumas vezes  trabalhoso calcular uma raiz com caneta e papel. Outras vezes  impossvel...

<R+>
_`[{um rapaz diz: "Fiz as contas. A raiz quadrada de 40  aproximadamente 6,3. No achei raiz quadrada de -9. Veja: 3 ao quadrado d 
9 e -3 ao quadrado tambm d 9. Ser que na calculadora consigo achar a raiz quadrada de -9?"_`]
<R->

  Neste item, tratamos da operao inversa da potenciao, que se chama radiciao. Aos poucos, voc perceber que essa operao tem 
utilidade. Por exemplo, sem as razes, seria impossvel escrever determinadas frmulas importantes.
<p>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Tente obter a raiz quadrada de -9 na calculadora. O que acontece?
 b) Qual  a medida do lado de um quadrado de rea 36 m2?
 c) Qual  a raiz quadrada de 49?
 d) H dois nmeros que, elevados ao quadrado, do 100. Quais so? Qual deles  a raiz quadrada de 100?
 e) Qual  a raiz cbica de 27? E a de -27?
 f) Qual  a origem da palavra raiz em Matemtica?
 g) A raiz quadrada de 110  maior ou menor do que 10?  maior ou menor do que 11?
 h) Escreva uma raiz cbica, ache seu valor e mostre o ndice, o radicando e o radical.
 i) Qual  a raiz quadrada de -25? E a raiz cbica de -8?
<140>
 j) Alm das razes quadradas e cbicas, existem razes quartas, 
<p>
  quintas etc. Descubra os valores de: 416, 532, 61.
 k) Para que servem as razes quadradas, cbicas etc.?

 Problemas e exerccios

 38. Copie e complete em seu caderno:
 a) 100=''' porque '''2=100 e '''  um nmero positivo.
 b) #be=''' porque '''2=#be e '''  um nmero positivo.
 c) 38=''' porque '''3=8.
 d) 5-1=''' porque '''5=-1.
 e) 0,04=''' porque '''2=0,04 e '''  um nmero positivo.
<p>
 39. Faa o que se pede.
 a) Encontre, por tentativas, dois nmeros diferentes que elevados ao quadrado deem 169.
 b) Qual  a raiz quadrada de 169?

 40. Se for possvel, extraia a raiz e d a resposta exata. Caso contrrio, d o resultado aproximado com uma casa decimal ou diga que a raiz no existe.
 a) #,;,fd
 b) 3125
 c) 200
 d) 3-8
 e) -100
 f) 4-16

 41. Leia esta informao:

  *Se a raiz quadrada de um nmero natural tambm  um nmero natural, ento o primeiro nmero  um quadrado perfeito.*
<p>
  Agora, responda:
 a ) De 0 at 30 existem seis quadrados perfeitos. Quais so?
 b) Entre 901 e 1.000 existe apenas um quadrado perfeito. Faa tentativas e descubra qual .

 42. Voc vai conhecer uma frmula usada em Fsica quando se estuda o movimento dos corpos em queda livre. Repare que, se no existisse o conceito e o smbolo para raiz quadrada, seria muito complicado explicar como se calcula o valor de *t*, quando se conhece o valor de *h*. Veja a frmula:
 t=h4,9
 t: tempo de queda em segundos
 h: altura da queda em metros
  Essa frmula, descoberta por Galileu, diz em quantos segundos, aproximadamente, um objeto chega ao solo quando  abandonado de uma altura de *h* metros. Responda usando a frmula: quanto tempo demora para chegar ao solo um objeto que cai de uma altura de 19,6 m?

<141>
 43. Um grfico de segmentos com muitos pontos pode se transformar numa linha curva.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Foi isso o que se fez com o grfico _`[no adaptado_`], que relaciona os nmeros de 0 a 4 com os quadrados desses mesmos nmeros. Por exemplo, 1 relaciona-se com 1, e 2 com 4, como se pode ver pelos pontos em destaque no grfico.
 a) Use o grfico e d os valores aproximados de 1,52, 2,52 e 3,52. (Por exemplo, 0,52  aproximadamente igual a 0,2 ou 0,3. O valor exato  0,25.)
<p>
 b) Use o grfico e d os valores aproximados de 2, 5 e 10. (Por exemplo, 12 vale, aproximadamente, 3,5.)

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

 Ao

 Tiro ao alvo

  Para jogar, voc vai usar duas cartelas e um trecho da reta numerada.
  Forme dupla com um colega.
  Na sua vez, escolha um nmero da cartela A e uma operao da cartela B, registre a sua escolha e efetue o clculo obtendo um resultado *r*. Depois, consulte a reta numerada para saber que lugar do alvo acertou, isto , quantos pontos fez.
  O nmero e a operao escolhidos so eliminados a cada jogada.
  Cada jogador joga cinco vezes. Ganha aquele que obtiver a maior soma de pontos.

<142>
<R+>
 Problemas e exerccios para casa

 44. Responda:
 a) Qual  o volume de um cubo cuja aresta mede 20 cm?
 b) Qual  o nome da operao usada para calcular esse volume?
 c) Quanto mede a aresta de um cubo cujo volume  1.000 cm3?
 d) Qual  o nome da operao usada para calcular a medida dessa aresta?

 45. Calcule mentalmente fazendo tentativas:
 a) #*ajj
 b) 144
 c) 3-#!abe
 d) 481

 46. Obtenha o valor mais aproximado, que tenha uma casa decimal, dos seguintes nmeros:
<p>
 a) 10
 b) 300

 47. Explique por que no existe a raiz quadrada de -36.

 48. Procure entender estes clculos:

 ?9+16*=25=5
 9+16=3+4=7

 4.25=2.5=10
 ?4.25*=100=10

  Agora, faa o que se pede.
 a) Os clculos que voc observou indicam que vale ou no vale esta propriedade: ?a+b*=a+b?
 b) A raiz quadrada da soma de dois nmeros  *sempre* igual  soma das razes quadradas desses nmeros?
 c) Nos clculos observados, vale ou no vale esta igualdade: ?a.b*=a.b?
<p>
 d) Pegue uma calculadora. A cada passo, anote o resultado e, a seguir, limpe o visor.
 1) Efetue 289441. A seguir, extraia a raiz quadrada do resultado.
 2) Extraia a raiz quadrada de 289.
 3) Extraia a raiz quadrada de 441.
 4) Multiplique os resultados obtidos nos passos 2 e 3.
  Os resultados obtidos nos passos 1 e 4 so iguais?
 e) Voc acha que a raiz quadrada do produto de dois nmeros no negativos  igual ao produto das razes quadradas desses nmeros?

_`[{para as atividades 49 e 50, pea orientao ao professor_`]

 49. Observe o movimento de ida e volta do pndulo.

_`[{figuras no adaptadas_`]

<143>
<p>
  H uma frmula que se aplica ao movimento do pndulo e, para entend-la,  preciso conhecer a raiz quadrada. A frmula, que permite calcular quanto tempo um pndulo gasta, aproximadamente, em um movimento de ida e volta, :
 t=2l
 t: tempo em segundos
 l: comprimento do pndulo em metros

 a) Se o comprimento do pndulo  de 2 metros, quantos segundos ele gasta em 10 movimentos de ida e volta?
 b) Agora, uma sugesto: teste a frmula fazendo uma experincia. Com um barbante e um peso razovel na ponta, voc constri um pndulo. Faa-o com um comprimento de 2 metros. Depois, marque o tempo que o pndulo 
<p>
  gasta para executar 10 movimentos de ida e volta. O resultado  igual quele que voc obteve aplicando a frmula?

 50. Este grfico _`[no adaptado_`] relaciona cada nmero com o valor de seu cubo, ou seja, ele relaciona *x* com x3.
  Usando o grfico, d os valores aproximados de:
 a) 0,83, 1,23 e 1,83
 b) 34, 37 e 38
<R->

<144>
 Extraindo razes

  As calculadoras facilitam a extrao de razes. Por exemplo, numa calculadora comum, se voc digita 5 , imediatamente aparece no visor o valor aproximado da raiz quadrada de 5. Veja:

<R+>
_`[{visor de uma calculadora com o nmero 2.236067978_`]
<R->

  Uma informao: o nmero 2,236067978, fornecido pela calculadora,  um valor aproximado da raiz quadrada de 5. O valor exato teria infinitas casas decimais e no seria dzima peridica. Por isso, no se pode escrev-lo completamente.
  Uma calculadora comum no extrai razes cbicas, mas ela pode auxiliar o clculo da raiz cbica, e de outras razes, por meio de tentativas. Como exemplo vamos calcular 320.
  Esse resultado  maior do que 2, porque 23=8 e 8<20.
  Por outro lado, esse resultado  menor do que 3, porque 33=27 e 27>20.
  Veja as tentativas:
 2,62,62,6=17,576
 2,72,72,7=19,683
 2,82,82,8=21,952
  Logo: 320^=2,7.
  Algumas vezes, pode-se extrair uma raiz decompondo o radicando em fatores primos. Veja, por exemplo, o clculo da raiz cbica do nmero 216:

<R+>
<F->
216 l 2
108 l 2
54  l 2
27  l 3
9   l 3
3   l 3
1   l
<F+>

 3216=3?23.33*=
  =32.33=363=6

_`[{a professora diz: "Claro que a raiz cbica de 6 ao cubo  6. Elevar ao cubo e extrair a raiz cbica so operaes inversas"_`]
<R->

  Quando o resultado no  um nmero natural, s vezes no se extrai a raiz. Faz-se apenas uma simplificao. Acompanhe o exemplo em que vamos usar novamente a decomposio em fatores primos para simplificar 44.
<p>
<R+>
<F->
44 l 2
22 l 2
11 l 11
1  l
<F+>

 44=?22.11*=22.11=
  =211 2 vezes a raiz qua-
  drada de 11
<R->

<145>
  Muitas vezes, nos problemas, quando aparece um radical como 44,  mais prtico operar com sua forma simplificada do que com a forma decimal. Isso porque, como j vimos em outro caso, razes desse tipo, na forma de nmero decimal, do nmeros aproximados e "incmodos", cheios de casas decimais.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) O texto se refere a mtodos para extrair razes. Quais so esses mtodos?
 b) Observe as contas que foram feitas para calcular a raiz cbica de 20. Explique qual  o raciocnio que orientou todos esses clculos.
 c) O que significa simplificar um radical? Como isso  feito?
 d) Faamos uma experincia. No texto, simplificamos 44 e obtivemos 211. Use a calculadora e obtenha o valor de cada uma dessas expresses. O que voc observa?

 Problemas e exerccios

 51. Com uma calculadora, faa tentativas e encontre, com aproximao de uma casa decimal, os valores de:
 a) 44
 b) 350
 c) 3100

 52. Obtenha as razes pedidas. Usando um pouco de esperteza, voc no precisa calcular 74 ou 36! Exemplo: 114=112, porque 112, elevado ao quadrado, d 114.
 a) 474
 b) 36

 53. Decomponha os radicandos em fatores primos e extraia as seguintes razes:
 a) 225
 b) 3343
 c) 324

 54. No caderno, copie e complete cada ''' com um nico nmero:
 a) 18=?322*='''2
 b) 125=?525*=''''''
 c) 28=?'''2'''*=''''''
 
 55. O nmero 32.76.11  um quadrado perfeito?

 Resoluo

  Se esse nmero fosse um quadrado perfeito, sua raiz quadrada seria um nmero natural. Vejamos: 32=3, pois elevar ao quadrado e extrair a raiz quadrada so operaes inversas.
 76=73, pois 732=76.
 11=3,3 aproximadamente.
  Assim, ?33.76.
  .11*^=3.73.3,3. Esse resultado no  um nmero natural e, por isso, o nmero dado no  um quadrado perfeito.
<146>
 56. Agora, um desafio!
  Qual  o menor nmero natural, diferente de zero, que devemos multiplicar por 56 para obter um nmero quadrado perfeito?
 57. Escreva em seu caderno uma expresso numrica envolvendo nmeros naturais, fraes ou decimais. Na expresso, deve aparecer pelo menos quatro operaes, sendo uma delas a radiciao ou a potenciao. Vale usar parnteses e colchetes. O objetivo  ter resultado -10.
  Depois, troque sua expresso com um colega. Voc confere o trabalho dele e vice-versa.
<p>
 Problemas e exerccios para casa

 58. No caderno, copie e complete as tabelas:

 !::::::::::
 l n   _ n _
 r:::::w:::::w
 l 16 _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 9  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 1  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 0  _ ''' _
 h:::::j:::::j
<p>
 !:::::::::::::
 l n     _ n  _
 r:::::::w::::::w
 l 0,01 _ 0,1 _
 r:::::::w::::::w
 l 0,04 _ '''  _
 r:::::::w::::::w
 l 0,09 _ '''  _
 r:::::::w::::::w
 l 0,16 _ '''  _
 r:::::::w::::::w
 l 0,25 _ '''  _
 h:::::::j::::::j

 59. Classifique cada sentena como verdadeira ou falsa:
 a) A raiz quadrada de um nmero  sempre menor que o prprio nmero.
 b) A raiz quadrada de 16  o dobro da raiz quadrada de 4.
 c) No se pode encontrar a raiz quadrada de -2.
 d) A raiz quadrada de 2  um nmero natural.
<p>
 60. Calcule:
 a) 3-2
 b) 410-4
 c) 54

 61. Usando a calculadora, obtenha com aproximao de uma casa decimal:
 a) 150
 b) 340
 c) 390

 62. Simplifique os radicais:
 a) 196
 b) 441
 c) 256
 d) 48
 e) 340
 f) 381

 63. Vamos destacar alguns fatos importantes que voc aprendeu sobre potncias e razes. Para cada um, d um exemplo numrico:
<p>
 a) Pode-se elevar uma base (que no seja zero) a um expoente negativo. Exemplo: (voc completa).
 b) As potncias so usadas para escrever nmeros muito grandes ou muito pequenos, na chamada notao cientfica. Exemplo: (voc completa).
 c) H propriedades que facilitam o clculo com potncias. Usando uma dessas propriedades, em vez de efetuar uma diviso trabalhosa, podemos efetuar apenas uma subtrao. Exemplo: (voc completa).
 d) Efetuar uma radiciao  o inverso de efetuar uma potenciao. Exemplo: 38=2 porque... (voc completa)
 e) s vezes, extramos uma raiz cbica de forma apenas aproximada. Exemplo: (voc completa).
 f) Podemos usar decomposio em fatores primos para extrair razes. Exemplo: (voc completa).
<R->

<147>
 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  calcular potncias com expoente positivo, nulo ou negativo;
  escrever e ler nmeros na notao cientfica;
  aplicar as propriedades das potncias relativas  multiplicao ou diviso de potncias de mesma base, potncia de potncia e potncia de produto;
  explicar como so justificadas algumas dessas propriedades;
  explicar o que  raiz quadrada e raiz cbica de um nmero;
  calcular razes exatas ou aproximadas (por tentativas ou pela decomposio em fatores primos) e simplificar radicais.
<R->
<p>
 Um toque a mais

 Bytes, quilobytes, megabytes,
  gigabytes...

  Computar  calcular. Os primeiros computadores eram mquinas de calcular. Atualmente, eles fazem bem mais do que isso, servindo para elaborar e guardar textos, nmeros, imagens e sons, isto , para trabalhar com informaes. E no futuro talvez tratem de informaes bem mais sutis, como os cheiros, as sensaes tteis, as impresses visuais etc.
  Os computadores se ligam tanto  informao que as lojas de equipamentos de computador so chamadas de lojas de informtica. Informtica  o tratamento da informao por meio de computadores.
  A informao costuma ser armazenada nos discos rgidos dos computadores (chamados de "memria" da mquina), em "ceds" e "deveds".
<p>
  Quando se armazena alguma coisa,  natural querer saber qual  a quantidade guardada. No caso da informao, como seria possvel medi-la?
  Nos computadores, a informao  armazenada por meios eletromagnticos. Simplificando, a armazenagem depende da corrente eltrica. Nessa situao, h uma informao, que  a menor possvel: a passagem, ou no, da corrente eltrica. A existncia da corrente pode ser representada pelo algarismo 1 e a falta dela pelo algarismo 0. Assim, a informao mais simples, chamada de *bit*,  indicada por 0 ou por 1.
  Desde o incio da informtica, verificou-se que era conveniente agrupar os bits em grupos de oito. Agrupando 8 bits, voc ter sequncias tais como #j#j#j#a#a#j#j#a ou #a#j#j#j#a#j#j#a. Cada uma dessas sequncias  chamada de *byte*. (Pronuncia-se *baite* porque essa palavra vem da lngua inglesa.) Se voc pensar um pouco, descobrir que existem 256 dessas sequncias, ou seja, 256 bytes diferentes. Note que 256=28. Na informtica, muita coisa  expressa por potncias de 2.
  Agora, podemos apresentar qual  a unidade que se usa para medir a informao armazenada:  o byte.
  Em geral, cada letra de um texto  associada a um byte. Quando voc digita a letra *a* no teclado e depois "salva" a informao, o computador armazena um certo byte, correspondente a essa letra, no disco rgido. Ele armazena, portanto, uma sequncia de oito zeros ou uns. No caso do *a*, a sequncia  #j#a#j#j#j#j#j#a.
  *Pequena experincia*: abra o bloco de notas do computador (clique em Iniciar/Programas/Acessrios/Bloco de notas) e digite #j#a#b#c#d#e#f~
 #g#h#i. So 10 sinais. Salve o arquivo com o nome de TESTE na rea de trabalho. Depois, com o boto
<148>
direito do *mouse* clique sobre o cone do arquivo TESTE e, na ficha que aparecer, escolha a opo "propriedades". L voc encontrar a informao de que o tamanho do arquivo  de 10 bytes.
  Um texto digitado  formado por milhares ou milhes de bytes. Figuras, desenhos, fotos ou sons so armazenados da mesma maneira. Por exemplo, cada figura  formada por milhares ou milhes de pontos e a cada ponto corresponde um ou mais bytes.
  Um byte pode ser uma unidade muito pequena para medir informao. Por isso, foram criados mltiplos do byte. Um deles  o *quilobyte*.
  Voc pode pensar que um 
 quilobyte so 1.000 bytes, pois o prefixo grego *kilo* (ou quilo, na grafia da lngua portuguesa) indica 1.000. Um quilmetro, por exemplo, tem 1.000 metros. No entanto, o sentido do prefixo muda na informtica! O valor do 
 quilobyte  prximo de 1.000, mas no  igual. Veja:
<R+>
 1 quilobyte (smbolo kB) corresponde a 210=1.024 bytes
<R->
  Um texto que ocuparia uma pgina de papel contm cerca de 3 quilobytes se for digitado no bloco de notas do computador, porque corresponde a cerca de 3.072 sinais e espaos. No entanto, quando digitado num programa de edio de texto, ele ter cerca de 30 quilobytes. A maioria desses bytes no corresponde s letras digitadas, mas sim a outras informaes que o programa guarda.
  Unidades maiores que o 
 quilobyte so o *megabyte* e o 
 *gigabyte*. Os prefixos *mega* e *giga* tambm so gregos. *Mega* significa grande e  usado para indicar milho ou 1.000 kilo. *Giga*  a raiz da palavra gigante e indica bilho ou 1.000 mega. Na informtica, porm, o sentido 
<p>
numrico desses prefixos tambm muda. Veja s:
<R+>
 1 megabyte (smbolo MB) corresponde a 210 quilobytes =
  =210210 bytes =220 bytes =1.048.576 bytes
 1 gigabyte (smbolo GB) corresponde a 210 megabytes =
  =210210210 bytes = 
  =230 bytes =1.073.741.824 bytes
<R->
  Portanto, ateno! Apesar de muita gente desconhecer, 1 
 megabyte contm 1.024 quilobytes (e no 1.000). E 1 gigabyte contm 1.024 megabytes (e no 1.000). Entretanto,  bastante razovel aproximar 1 megabyte para 1.000 quilobytes (afinal os valores so prximos). Isso tambm ocorre em relao a 1 
 gigabyte e 1.000 megabytes.
  Para voc ter uma ideia da grandeza dessas unidades, veja estes exemplos:
<p>
<R+>
  todo o texto deste livro, *sem* as figuras, equivale a cerca de 4 MB de informao e pode ser armazenado em 3 disquetes de 1,44 MB cada um;
  uma simples foto costuma ter cerca de 1 MB de informao;
  um ced, com 60 minutos de msica, contm cerca de 650 MB;
  a capacidade da memria dos computadores pessoais era, em 2009, cerca de 300 GB.
<R->
  Voc pode se perguntar por que as unidades de medida de informao no so decimais. Por que, por exemplo, 1 GB no vale exatamente 1.000.000.000 bytes?
  A razo  que tudo comeou com o nmero 2. O bit, que  a menor quantidade de informao possvel, tem duas possibilidades, 0 ou 1 (lembre-se: ou passa corrente ou no passa corrente eltrica). O byte tem 8 bits, ou seja, 23 bits. A quantidade de bytes  256=28. A partir dessa origem 
<p>
 tornou-se natural definir o 
 quilobyte em termos de potncias de 2. E assim por diante.

<R+>
 Pequeno desafio: voc pode explicar por que h 256 bytes diferentes?

 *Sugesto*: comece construindo uma *rvore de possibilidades*; antes de termin-la voc ter descoberto a resposta.

 Procure no dicionrio: rvore de possibilidades.
<R->

               oooooooooooo

<149>
<p>
 Captulo 8

 Estatstica e possibilidades

 Ao

 Jogos com dados

 Jogo da soma

  Na classe, formam-se 11 times. Um ter o nmero 2, outro o 3, e assim por diante at o 12.
  O professor lana dois dados simultaneamente. Se a soma dos pontos obtidos for 4, o time 4 faz gol; se for 9,  o time 9 que faz gol etc.
  Algum deve anotar numa tabela, no quadro-de-giz, o nmero de gols de cada time. Aps 50 lanamentos, acaba o jogo e ganha o time com mais gols.
  *Importante*: para anlise posterior, transcreva em seu caderno a tabela do quadro com os resultados finais. Alm disso, d sua 
<p>
opinio sobre esta questo: o time vencedor ganhou apenas por ter mais sorte?

 Jogo do par ou mpar

  Forme dupla com um colega. Um de vocs ser PAR e o outro, MPAR.
  Lanam-se trs dados e multiplicam-se os pontos de cada dado. Se o produto for par, ponto para o jogador PAR; se for mpar, ponto para o jogador MPAR.
  O jogo termina aps oito lanamentos.
  *Importante*: anote o resultado da partida (quantos pontos para o PAR e quantos para o MPAR).
  O professor transcreve os resultados de toda a classe no quadro-de-giz. Registre sua opinio sobre o jogo: A vitria do PAR (ou do MPAR) foi pura sorte?

 Possibilidades e chances

  Voc participou de dois jogos com dados e deve ter notado que os resultados foram distribudos de maneira bem desigual. Por que ser? Para responder, faremos uma anlise das possibilidades em cada um desses jogos.

 O jogo da soma

  Nesta anlise, vamos supor que os dados so honestos, ou seja, nesses dados, a chance de uma face ser sorteada  a mesma para todas as faces. A primeira impresso  que cada time teria igual chance de marcar gol, pois as somas 2, 3, ..., 12 seriam todas igualmente provveis. No entanto, ao combinar os resultados de dois dados, verificamos que no  bem assim.
<150>
  Primeiro, vamos observar todas as possibilidades de resultado no lanamento dos dois dados. Para isso, faremos uma tabela:
<R+>
  H 6 resultados possveis para cada dado:

 Dado 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 Dado 2: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

  Juntos, os dois dados produzem 36 possibilidades. Na tabela, consta a soma dos pontos em cada uma dessas possibilidades:

 Dado 1: 1, Dado 2: 1, 
  Soma: 2.
 Dado 1: 1, Dado 2: 2, 
  Soma: 3.
 Dado 1: 1, Dado 2: 3, 
  Soma: 4.
 Dado 1: 1, Dado 2: 4, 
  Soma: 5.
 Dado 1: 1, Dado 2: 5, 
  Soma: 6.
 Dado 1: 1, Dado 2: 6,
  Soma: 7.
 Dado 1: 2, Dado 2: 1, 
  Soma: 3.
 Dado 1: 2, Dado 2: 2, 
  Soma: 4.
 Dado 1: 2, Dado 2: 3, 
  Soma: 5.
 Dado 1: 2, Dado 2: 4, 
  Soma: 6.
 Dado 1: 2, Dado 2: 5, 
  Soma: 7.
 Dado 1: 2, Dado 2: 6, 
  Soma: 8.
 Dado 1: 3, Dado 2: 1, 
  Soma: 4.
 Dado 1: 3, Dado 2: 2, 
  Soma: 5.
 Dado 1: 3, Dado 2: 3, 
  Soma: 6.
 Dado 1: 3, Dado 2: 4, 
  Soma: 7.
 Dado 1: 3, Dado 2: 5, 
  Soma: 8.
 Dado 1: 3, Dado 2: 6, 
  Soma: 9.
 Dado 1: 4, Dado 2: 1, 
  Soma: 5.
 Dado 1: 4, Dado 2: 2, 
  Soma: 6.
 Dado 1: 4, Dado 2: 3, 
  Soma: 7.
 Dado 1: 4, Dado 2: 4, 
  Soma: 8.
 Dado 1: 4, Dado 2: 5, 
  Soma: 9.
 Dado 1: 4, Dado 2: 6, 
  Soma: 10.
 Dado 1: 5, Dado 2: 1, 
  Soma: 6.
 Dado 1: 5, Dado 2: 2, 
  Soma: 7.
 Dado 1: 5, Dado 2: 3, 
  Soma: 8.
 Dado 1: 5, Dado 2: 4, 
  Soma: 9.
 Dado 1: 5, Dado 2: 5, 
  Soma: 10.
 Dado 1: 5, Dado 2: 6, 
  Soma: 11.
 Dado 1: 6, Dado 2: 1, 
  Soma: 7.
 Dado 1: 6, Dado 2: 2, 
  Soma: 8.
 Dado 1: 6, Dado 2: 3, 
  Soma: 9.
 Dado 1: 6, Dado 2: 4, 
  Soma: 10.
 Dado 1: 6, Dado 2: 5, 
  Soma: 11.
<p>
 Dado 1: 6, Dado 2: 6, 
  Soma: 12.
<R->

  Percebeu quantas das possibilidades do soma 4 e quantas do soma 7? A soma 4 tem 3 possibilidades em 36. Em outras palavras, a soma 4 tem #:cf de chance. Tambm se diz que a probabilidade de sua ocorrncia  #:cf. J a probabilidade da soma 7  #!cf.
  Com essa tabela voc pode entender que alguns times comearam o jogo da soma com mais chances que outros. A vitria de certos times no foi pura sorte.

 O jogo de par ou mpar

  Veja algumas possibilidades resultantes do lanamento de trs dados:

 235=30
 par  mpar  mpar = par
<p>
 426=48
 par  par  par = par

 353=45
 mpar  mpar  mpar = mpar

 142=8
 mpar  par  par = par

  Repare que o produto de trs nmeros pares  par; o produto de um nmero par e dois mpares tambm  par etc. Observe ainda o seguinte: num dado honesto, dos 6 resultados possveis, 3 so pares e 3 so mpares, de modo que a chance de sortear um nmero par  igual  chance de sortear um nmero mpar.
<151>
  Tendo isso em mente, pode-se visualizar todas as possibilidades do jogo desenhando uma rvore de possibilidades. Veja:
<p>
<R+>
_`[{rvore de possibilidades adaptada_`]
 O primeiro dado pode dar par ou mpar.
 Para cada resultado do primeiro dado, o segundo dado tambm pode dar par ou mpar.
 Para cada resultado do primeiro e segundo dados, o terceiro tambm pode dar par ou mpar.
 Conhecendo a paridade de cada fator, podemos deduzir a paridade do produto.
<R->
<p>
<F->
                  r par :o par  
                  l 
         r par :::l
         l        l
         l        r mpar :o par      
 r par : l
 l       l        r par :o par  
 l       l        l
 l       r mpar :l
 l                l
 l                r mpar :o par
 l
 l
 l                r par :o par
 l                l
 l       r par :::l
 l       l        l
 l       l        r mpar :o par
 r mpar l        
         l        r par :o par
         l        l
         r mpar :l   
                  l
                  r mpar :o mpar
<F+>
<p>
  Do total de 8 possibilidades, 7 so produtos pares. Assim, nesse jogo de par ou mpar, a chance de o produto ser par  igual a #=h! Claro que o mpar pode vencer algumas vezes. Mas, com muito mais chance, o par ter nmero bem maior de vitrias.

 Clculo da chance

  Essa anlise dos dois jogos mostra uma maneira de calcular a chance ou a probabilidade de ocorrer um evento: divide-se o nmero de possibilidades de ocorrncia do evento pelo nmero total de possibilidades. Por exemplo, no lanamento de um dado, a probabilidade de resultar um nmero divisvel por 3 
#;f=#,c^=0,33=33%.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Antes de iniciar o jogo da soma, voc j havia percebido que alguns times tinham mais chances que outros?
 b) Que opinio voc registrou no caderno sobre o time vitorioso? Voc associou a vitria apenas  sorte?
 c) E no caso do jogo do par ou mpar, voc percebeu que o jogador PAR teria muito mais chances de vencer?
 d) Veja a tabela do jogo da soma. Quais so as chances da soma 2? Se voc pudesse escolher uma soma, com qual ficaria?
 e) Voc sabe o que significa a expresso dado honesto?
 f) Costuma-se dizer que, num dado honesto, os eventos resultado par e resultado mpar so equiprovveis. O que significa isso?
 g) Veja a rvore de possibilidades do jogo do par ou mpar. Por que esse esquema  chamado rvore?
 h) Quando se obtm produto mpar nesse jogo? Qual  a chance de um produto ser mpar?
<152>
<p>
 i) Estamos comeando a calcular chances. Vamos ver se voc compreendeu a ideia. Imagine uma rifa com 200 nmeros. Num sorteio honesto, 
se voc tem um desses nmeros, qual  sua chance de ganhar? E se voc tiver dois nmeros?
 j) No sorteio da questo anterior, para ter certeza absoluta de ser o ganhador, quantos nmeros da rifa voc precisaria adquirir?

 Problemas

 1. Resolva as seguintes questes sobre o jogo da soma:
 a) Teoricamente, a chance da soma 2  #,cf ou, aproximadamente, 2,7%. Convm recordar como se transforma essa frao em porcentagem:
 10036=0,027 resto: 28
  Calcule, em forma de frao e em forma de porcentagem, as chances das somas 5, 7, 9 e 12.
 b) No jogo realizado em sua classe, calcule as porcentagens obtidas pelas somas 5, 7, 9 e 12.
 c) As porcentagens obtidas so aproximadamente iguais s porcentagens tericas?

 2. No jogo do par ou mpar, teoricamente um resultado par tem #=h das chances ou 87,5%.
 a) No jogo realizado na sua classe, levando em conta todos os resultados, qual foi a porcentagem de resultados pares?
 b) A porcentagem obtida no jogo aproxima-se da porcentagem terica? Comente sua resposta.

 3. No lanamento de uma moeda, pode-se obter cara ou coroa. Vamos admitir que a moeda seja honesta, ou seja, a chance de sair cara  igual  chance de sair coroa. Vamos jogar duas moedas.
<p>
 a) Construa a tabela que mostra todas as possibilidades.
 b) Qual  a chance de se obter cara nas duas moedas?

 4. No lanamento de quatro moedas honestas, alguns alunos da turma tinham de calcular a chance de sair cara em todas elas. Para resolver este problema, eles raciocinaram assim:
  Se fizermos um grande nmero de lanamentos, em metade das vezes o resultado ser cara na primeira moeda. Dos lanamentos que resultaram cara, em metade deles obteremos cara tambm na segunda moeda. Como metade de metade  #,b.#,b, conclumos que em #,d das vezes teremos cara nas duas primeiras moedas.
  Da mesma forma, na terceira moeda, obteremos cara em metade das vezes em que as duas primeiras moedas estampavam cara. Isto , em #,b.#,d=#,h das vezes.
  Com base nesse raciocnio, responda:
 a) No lanamento de quatro moedas, qual  a chance de se obter cara em todas elas? Essa chance  maior do que 10%?
 b) Qual  a chance de, no lanamento de cinco moedas, se obter o resultado coroa em todas elas? Essa chance  maior do que 5%?

<153>
 5. Em cada urna esfrica h trs bolinhas, marcadas com os nmeros 1, 2 e 3. Vamos sortear uma bolinha de cada urna formando, assim, 
um nmero de trs algarismos. Todas as bolinhas tm a mesma chance de ser sorteadas.

_`[{figura: Trs urnas esfricas: Centena, Dezena e Unidade, repectivamente_`]

 a) Desenhe a rvore que mostra todas as possibilidades de nmeros com o algarismo 1 nas centenas.
<p>
 b) Quantos so os nmeros que tm 1 na centena?
 c) No total, quantos nmeros podem ser formados nesse sorteio?
 d) Qual  a chance de o nmero sorteado ser 111?
 e) Qual  a chance de o nmero sorteado ser 132?
 f) Todos esses nmeros tm a mesma chance de ser sorteados?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Problemas e exerccios para casa

 6. Considere o lanamento de um dado honesto.
 a) Qual  a probabilidade de o resultado ser 2?
 b) Qual  a probabilidade de o resultado ser um nmero primo?
 c) Qual  a probabilidade de o resultado ser um nmero maior do que 6?
<p>
 d) Em 300 lanamentos, aproximadamente quantas vezes se deve esperar o resultado 4?
 e) Em 300 lanamentos, aproximadamente quantas vezes se deve esperar um resultado primo?

 7. Agora vamos lanar dois dados honestos e multiplicar o nmero de pontos obtidos em cada um.
 a) Construa uma tabela em seu caderno mostrando todas as possibilidades no lanamento dos dois dados.
 b) Quantas so essas possibilidades?
 c) Em quantas delas o produto  12?
 d) Quais so as chances de o produto ser 6?
 e) Qual  a chance de o produto ser 17?

 8. Na situao do problema anterior, podemos fazer um jogo de 
<p>
  par ou mpar. Quais so as chances de o produto ser par? E de ser mpar?

 9. Vamos desenhar a rvore de possibilidades do lanamento de trs moedas honestas. O comeo da rvore  assim:

<F->
                cara  :> 3 caras
               
         cara 
              
  cara         coroa :> 2 caras
                      1 coroa 
       
        coroa
 
<F+>

 a) Copie e complete o desenho da rvore em seu caderno.
 b) Ao todo, quantas so as possibilidades no lanamento de trs moedas?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<154>
<p>
 10. Luisinha e Slvio vo lanar trs moedas honestas e iguais.

_`[{luisinha diz: "Aposto em uma cara e duas coroas". Slvio fala: "Aposto em trs coroas". E a professora comenta: "Slvio, voc 
poderia ter pensado um pouco mais..."_`]

  Quais so as chances de Slvio ganhar? E as de Luisinha?

 11. Na urna esfrica, h cinco bolinhas numeradas de 1 a 5. Vamos sortear trs delas, uma de cada vez. Mas ateno! A bolinha sorteada uma vez no volta  urna! Nesse sorteio, formaremos nmeros de trs algarismos.
  Veja aqueles que comeam com o algarismo 1:
<p>
<F->
         $: 3 :> 123
   $: 2 w: 4 :> 124
   _     : 5 :> 125
   _ 
   _     $: 2 :> 132
   _: 3 w: 4 :> 134
   _     : 5 :> 135
1 w 
   _     $: 2 :> 142
   _: 4 w: 3 :> 143
   _     : 5 :> 145
   _ 
   _     $: 2 :> 152
   : 5 w: 3 :> 153
         : 4 :> 154
<F+>

 a) Quantos so os nmeros comeados com 1?
 b) Quantos nmeros comeados com 2 podem ser formados no sorteio?
 c) No total, quantos nmeros podem ser obtidos?
<p>
 12. No problema anterior, admitindo que as bolinhas tm a mesma chance de ser sorteadas, calcule a chance de o nmero extrado ser:
 a) 123
 b) 132
 c) 133
 d) 421

 13. Dois dados so lanados e calcula-se a diferena entre os pontos de cada um. Essa diferena  um nmero de 0 a 5. Qual  a diferena com maior probabilidade de ocorrer? Qual  essa probabilidade?
  *Dica*: no texto h uma tabela que mostra todas as possibilidades da soma no lanamento de dois dados; faa uma tabela similar, s que para a diferena.
<R->

<155>
 Tratamento de dados

  H uma parte da Matemtica que organiza, apresenta e analisa dados numricos, que resultam da observao de certos acontecimentos e fenmenos.  a estatstica.
  A partir dos dados organizados, as pessoas podem tirar concluses, tomar decises e planejar aes futuras. Veja um exemplo simples:

 !::::::::::::::::::::::
 l nascimento na cidade _
 r:::::::::::::::::::::w
 l ano   _ quantidade   _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 2007 _ 10.000      _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 2008 _ 11.000      _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 2009 _ 12.100      _
 h:::::::j::::::::::::::j

<R+>
_`[{o menino diz: "Dados numricos organizados numa tabela... ajudam o prefeito a decidir". O prefeito comenta: "Precisamos 
construir mais salas de aula"_`]
<R->

  Os dados numricos podem ser apresentados por diferentes tipos de grficos, conforme o aspecto que se deseja realar.
  Um grfico de setores mostra relaes entre partes de um todo.

<R+>
_`[{grfico "As torcidas em nossa cidade" adaptado em forma de tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: As torcidas em nossa cidade
 2 coluna: Porcentagem

 !:::::::::::::::::::::::::
 l 1            _ 2     _
 r::::::::::::::::w:::::::::w
 l Incompetentes _ 50%   _
 r::::::::::::::::w:::::::::w
 l Perna-de-pau  _ 25%   _
 r::::::::::::::::w:::::::::w
 l Grossos       _ 12,5% _
 r::::::::::::::::w:::::::::w
 l Vrzea        _ 12,5% _
 h::::::::::::::::j:::::::::j
<p>
Para decidir quais jogos vo transmitir, as redes de televiso levam em conta o tamanho das torcidas.
<R->

  Um grfico de barras pode mostrar a frequncia de um fenmeno.

<R+>
_`[{grfico "Altura dos alunos da turma" adaptado; contedo a seguir_`]
 Legenda:
 A: menos de 1,45 m 
 B: de 1,45 a 1,49 m
 C: de 1,50 m a 1,55 m
 D: de 1,56 m a 1,60 m
 E: mais de 1,60 m
<p>
<F->
frequncia
  12l
     l
  10l
     lcccccccccccc
   8l            
     l            
   6l              
     lcccccccccccc
   4l            
     l            
   2lcc        
     v------------
        A  B  C  D  E  altura
<F+>

Este grfico exibe a frequncia de cada faixa de altura (ou quantos estudantes pertencem a cada faixa de altura) na turma.
<R->

<156>
  Grficos de segmentos mostram como uma grandeza varia em relao a outra.

<R+>
_`[{grfico "Consumo de energia eltrica no Brasil em milhes de megawatts-hora" adaptado em forma de tabela em duas colunas; 
contedo a seguir_`]
 1 coluna: Ano
 2 coluna: Milhes de 
  megawatts-hora

 !:::::::::::::
 l 1   _ 2  _
 r:::::::w::::::w
 l 1992 _ 203 _
 r:::::::w::::::w
 l 1995 _ 265 _
 r:::::::w::::::w
 l 1998 _ 310 _
 r:::::::w::::::w
 l 2001 _ 310 _
 r:::::::w::::::w
 l 2004 _ 360 _
 h:::::::j::::::j

 Este grfico mostra o crescimento do consumo de energia eltrica no Brasil em um longo perodo.
 Em 2001, a produo de energia foi insuficiente, forando a queda do consumo.
<R->
<p>
  Neste item, vamos explorar mdias, porcentagens, tabelas e vrios tipos de grficos, que so os recursos usados pela estatstica para organizar e apresentar os dados. s vezes, pediremos a voc que obtenha concluses a partir dos dados organizados.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Explique com suas palavras o que so dados numricos.
 b) Retorne ao trecho do texto em que aparece o prefeito de uma cidade. L, h um exemplo da utilidade da estatstica. Explique esse exemplo.
 c) Observe o grfico de setores. Imagine que o Incompetentes F. C. tem 10.000 torcedores. Quantos torcedores tem o Perna-de-pau F. C.? E o Grossos F. C.?
 d) Veja o grfico de barras. Quantos alunos daquela turma 
<p>
  tm mais de 1,60 m? E na sua classe, quantos tm mais de 1,60 m?
 e) Qual  a altura mais comum naquela turma? E na sua classe?
 f) E qual  o total de alunos da turma do grfico?
 g) No grfico de segmentos, que mostra consumo de energia eltrica, houve algum intervalo em que o consumo no cresceu? Em que perodo?

_`[{a professora segurando um dado em uma das mos, cujas faces visveis so 5, 3 e 1, diz: "Os dados numricos citados no captulo 
no so estes"_`]

<157>
 Problemas e exerccios

 14. Ser que, na mdia, a classe de Eduardo est indo bem em Geografia? Veja as notas de todos os alunos:
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::
 l    Notas de Geografia    _
 r:::::::::::::::::::::::::w
 l 5,0 _ 7,0 _ 8,5 _ 8,0  _
 r::::::w::::::w::::::w:::::::w
 l 7,5 _ 8,0 _ 9,0 _ 9,0  _
 r::::::w::::::w::::::w:::::::w
 l 8,0 _ 8,5 _ 4,5 _ 10,0 _
 r::::::w::::::w::::::w:::::::w
 l 8,5 _ 6,0 _ 4,0 _ 10,0 _
 r::::::w::::::w::::::w:::::::w
 l 9,0 _ 5,0 _ 5,0 _ 9,5  _
 r::::::w::::::w::::::w:::::::w
 l 6,0 _ 6,0 _ 4,0 _ 9,0  _
 r::::::w::::::w::::::w:::::::w
 l 7,0 _ 7,5 _ 9,0 _ 8,0  _
 r::::::w::::::w::::::w:::::::w
 l 9,5 _ 6,0 _ '''  _ '''   _
 h::::::j::::::j::::::j:::::::j

  Para conhecer a mdia das notas, vamos organizar todos esses dados em uma tabela mais apropriada. Veja:
<p>
 Comeamos pela menor nota.
 H duas notas 4,0 no conjunto de notas.

 !::::::::::::::::::::
 l Nota _ Frequncia _
 r:::::::w:::::::::::::w
 l 4,0  _ 2          _
 r:::::::w:::::::::::::w
 l 4,5  _ 1          _
 r:::::::w:::::::::::::w
 l 5,0  _ 3          _
 r:::::::w:::::::::::::w
 l 5,5  _ 0          _
 r:::::::w:::::::::::::w
 l 6,0  _ 4          _
 h:::::::j:::::::::::::j

 a) Em seu caderno, copie e complete essa tabela. O total de notas deve ser 30. Confira!
 b) Com a tabela de frequncia  mais fcil calcular a mdia da classe. Veja: m=?2.4,0+1.
  .4,5+3.5,0+4 .6,0+...*30.
  Complete esse clculo, obtendo a mdia da classe em Geografia.
<p>
 c) A nota de Eduardo foi 6,0. Comente seu desempenho em relao  mdia da turma.

 15. As notas de Geografia da classe, apresentadas no problema anterior, podem ser mostradas num grfico de barras. J comeamos o 
grfico. Siga o modelo e faa um grfico completo, em uma folha de papel quadriculado.

<F->
frequncia
  l
5l
  l
4lcccccccccccccccccccccc
  l                      
3lcccccccccccc        
  l                    
2lcc                
  l                  
1lccccc           
  v------------------
    4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 notas
<F+>
<p>
 16. Voltando ao problema 14, veja o que diz a professora de Geografia daquela classe:

_`[{a professora diz: "Alunos com nota inferior a 6,0 precisam de ajuda extra"_`]

 a) Analise o grfico do exerccio anterior e responda: quantos alunos precisam de ajuda extra?
 b) Leia esta afirmao:
  "O grfico das frequncias das notas d mais informaes sobre o desempenho da classe em Geografia do que a mdia das notas."
  D exemplo de uma informao que se pode obter no grfico, mas no por meio da mdia.

 17. Leia o texto, adaptado de uma reportagem publicada por um jornal paulista:
<p>
  A Terra  um planeta cheio de gua, mas a maior parte dela est nos oceanos e ns, seres humanos, precisamos de gua doce para consumo prprio e para a agricultura. Segundo especialistas, 69% da gua doce do mundo esto nas calotas polares e geleiras, sendo inexplorveis. Outros 30% esto em depsitos subterrneos, sendo de difcil uso. O restante, que est em rios, lagos e represas,  fcil de usar, mas a quantidade no  grande, sendo, em muitos casos, gua poluda. Isso mostra que a gua no pode ser mal usada.

 (*O Estado de S. Paulo*, So Paulo, 22 mar. 2001. Geral, p. A13.)

<158>
<p>
 a) Represente a distribuio de gua doce do mundo em um grfico de setores. (As medidas dos ngulos sero aproximadas, naturalmente.)
 b) Com base nesse grfico, crie um texto publicitrio, de poucas linhas, alertando a populao de que no se deve desperdiar gua. Seja convincente e, mais que tudo, verdadeiro!

 18. A tabela mostra quantos automveis novos foram vendidos por ano no Brasil, de 1998 a 2003:
<p>
 !:::::::::::::::::::::::
 l Ano  _ Quantidade de _
 l       _   automveis   _
 l       _   vendidos     _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 1998 _ 1.211.885     _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 1999 _ 1.011.847     _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 2000 _ 1.176.774     _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 2001 _ 1.295.096     _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 2002 _ 1.218.544     _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 2003 _ 1.168.681     _
 h:::::::j::::::::::::::::j
 
Legenda: Associao Nacional de Fabricantes de Veculos Automotores, 2004.

 a) Copie a tabela, trocando os nmeros da produo por valores aproximados para a meia centena 
<p>
  de milhar mais prxima. Por exemplo: 1.168.681 fica 1.150.000.
 b) Com os dados da tabela, construa em papel quadriculado um grfico de segmentos para mostrar a variao de vendas. Use como modelo 
o esboo seguinte.

_`[{grfico adaptado em forma de tabela em colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Ano
 2 coluna: Milhares de automveis

<F->
 !:::::::::::::::
 l 1   _ 2    _
 r:::::::w::::::::w
 l 1998 _ 1.200 _
 r:::::::w::::::::w
 l 1999 _ 1.000 _
 r:::::::w::::::::w
 l 2000 _ 1.200 _
 h:::::::j::::::::j
<F+>
<p>
 Problemas e exerccios para casa

 19. O gerente de uma loja de calados femininos fez um grfico mostrando quantos pares de sapatos foram vendidos durante uma semana.

quantidade vendida
<F->
    l
35 l             
    l             
30 l          
    l          
25 l           
    l           
20 l                   
    l                  
15 l                  
    l          
10 l       
    l       
5  l       
    v--------
      34 35 36 37 38 39 40
                    n.o do sapato
<F+>
<p>
 a) Descubra o total de pares de sapatos vendidos.
 b) O gerente pretende renovar o estoque, comprando 200 novos pares de calado.  claro que ele no vai comprar a mesma quantidade de cada nmero. Faa o pedido por ele.

 20. Observe o grfico de setores que est na pgina 465 e responda:
 a) Qual  o ngulo correspondente  torcida do Incompetentes F. C.?
 b) E qual  o ngulo correspondente ao Perna-de-pau F. C.?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<159>
 21. Como foi mostrado na pgina 467, o consumo de energia eltrica aumentou de 2001 para 2004: de 310 milhes de 
  megawatts-hora para 360 milhes de megawatts-hora. Dados de 2008 do Ministrio de Minas e Energia mostram que o consumo havia aumentado em 2007 para 410 milhes de megawatts-hora.
  H um padro nesses nmeros que sugere um acrscimo constante a cada trs anos.
 a) Baseando-se no padro assinalado, faa uma previso para o consumo de energia eltrica no pas em 2013.
 b) Suponha que, em 2010, voc se tornou o ministro ou a ministra que cuida da energia eltrica. Voc tem uma previso do que ser consumido em 2013, mas lhe informam que o pas s conseguir produzir 480 milhes de megawatts-hora. Que providncias voc tomaria?

 22. Um canal de televiso queria saber qual era o cantor ou compositor de Msica Popular Brasileira (MPB) preferido 
<p>
  por adultos com mais de 50 anos. Para isso foram consultadas 180 pessoas. Veja o resultado:

 !::::::::::::::::::::::::::
 l Chico Buarque     _ 45 _
 r:::::::::::::::::::::w:::::w
 l Caetano Veloso    _ 36 _
 r:::::::::::::::::::::w:::::w
 l Gilberto Gil      _ 27 _
 r:::::::::::::::::::::w:::::w
 l Milton Nascimento _ 18 _
 r:::::::::::::::::::::w:::::w
 l Paulinho da Viola _ 18 _
 r:::::::::::::::::::::w:::::w
 l Outros             _ 36 _
 h:::::::::::::::::::::j:::::j

  Desenhe o grfico de setores correspondente a essa tabela. Antes, porm, veja a *dica* que  dada a seguir.

_`[{a professora mostra no quadro-
  -de-giz: "Medida do ngulo -- 45180=x360" e diz: "Voc pode calcular as medidas dos ngulos resolvendo 
uma regra de trs". Agora no quadro est escrito: "45 equivale a quanto por cento do total?"; e a professora diz: "Outro jeito  usar 
porcentagens"_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 23. Agora, quem faz a estatstica  voc. Descubra qual  o cantor ou compositor de MPB preferido por adultos com mais de 50 anos. Consulte pelo menos 10 pessoas, pedindo que citem dois cantores.
 a) Apresente seus dados numa tabela.
 b) Compare seus dados com os da tabela do exerccio 22 e escreva um comentrio em seu caderno.
<p>
 24. Na Confeitaria Doces do Cu, quanto maior a encomenda, mais barato sai cada doce. Veja:

_`[{grfico de segmentos adaptado em forma de tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero de doces encomendados
 2 coluna: Preo da encomenda (reais)

<F->
 !:::::::::::
 l 1  _ 2 _
 r::::::w:::::w
 l 50  _ 20 _
 r::::::w:::::w
 l 100 _ 30 _
 r::::::w:::::w
 l 150 _ 35 _
 r::::::w:::::w
 l 200 _ 40 _
 h::::::j:::::j
<F+>

  Examine o grfico. Depois, copie e complete a tabela em seu caderno.
<p>
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero de doces da encomenda
 2 coluna: Preo da encomenda (em reais)
 3 coluna: Preo de cada doce (em reais)

 !::::::::::::::::
 l 1  _ 2 _ 3 _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 50  _ ''' _ ''' _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 100 _ ''' _ ''' _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 150 _ ''' _ ''' _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 200 _ ''' _ ''' _
 h::::::j:::::j:::::j
<R->

<160>
 Tirando concluses com
  estatstica

  J vimos que, organizando vrios dados, podemos entender uma situao, fazer algumas previses e tomar decises. No entanto, a estatstica vai alm disso, tirando concluses a partir de poucos dados. Isso  possvel com auxlio de clculos sobre chances. Vamos ver exemplos.

 1. Como saber se uma moeda 
  honesta?

  Moeda honesta  toda moeda em que a chance de se obter cara (ou coroa)  #,b ou 50%. Numa moeda viciada, a chance de cada um desses acontecimentos seria diferente de 50%.
  Para saber se a moeda  honesta ou no, podemos fazer um teste estatstico efetuando, por exemplo, 7 lanamentos. Se obtivermos 7 caras,  muito provvel que a moeda seja viciada.
  Chegamos a essa concluso porque a chance de se obter 7 caras em 7 lanamentos  127=1128^=0,008=0,8%. Ou seja, essa chance  menor do que 1%. Com base nesse clculo, um estatstico teria quase certeza de que a moeda  viciada.
  Ateno! Dissemos *quase certeza*. Nas concluses estatsticas no existe certeza absoluta.

 2. Como prever os resultados de
  uma eleio?

  Um canal de televiso quer prever quem ser o vencedor de uma eleio para a qual concorrem os candidatos A e B. Como descobrir o resultado sem entrevistar todos os eleitores?
  Isso se faz com uma pesquisa estatstica, que inclui as seguintes etapas:
<R+>
  os pesquisadores escolhem uma pequena parte do eleitorado, isto , uma *amostra*;
  os indivduos que compem a amostra so entrevistados;
<p>
  depois, admitindo-se que haja proporcionalidade entre os nmeros da amostra e os da populao toda, se prev o resultado das eleies. Veja o exemplo:

_`[{trs figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: 300.000 eleitores devem escolher entre A ou B.
 Legenda 2: Numa amostra de 300 eleitores, 200 preferem A.
 Legenda 3: Usando proporcionalidade, prev-se que A ter 200.000 votos na eleio.
<R->

<161>
 3. Amostragens sempre do certo?

<R+>
_`[{trs pessoas conversam. Um dos homens pergunta: "Ser que os eleitores de A na amostra e na populao toda esto na mesma 
proporo?". A mulher tambm pergunta: "E se o candidato A tiver s 200 eleitores e todos eles estiverem na amostra?". O outro homem 
fala: "O resultado vai ser 200.000 exatamente?"_`]
<R->
<p>
  As dvidas de nossos amigos so procedentes. Vamos respond-las.
  Os estatsticos sabem que, se a pesquisa for benfeita, existe, sim, quase certamente, proporcionalidade entre os nmeros da amostra e os da populao. Uma pesquisa benfeita coloca na amostra representantes de todos os setores da populao.
  A proporcionalidade  aproximada. Isto significa que no se espera que o candidato A tenha exatamente 200.000 votos. Por exemplo, ele pode ter entre 195.000 e 205.000 votos.
  Mesmo numa pesquisa benfeita, sabe-se que existe uma pequena chance de o resultado da eleio ser bem diferente do previsto. Entretanto, os estatsticos geralmente fazem clculos de probabilidade, de maneira a garantir que a chance de erro na previso seja inferior a 5%.
  Finalmente,  possvel que os eleitores mudem de opinio no espao de tempo entre a pesquisa e a eleio. Por isso, as previses mais confiveis so aquelas obtidas em pesquisas prximas da data da eleio, em especial as de boca de urna, realizadas no dia da eleio.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Explique por que um estatstico tenderia a considerar viciada uma moeda que d 7 caras em 7 lanamentos. Voc concorda com a opinio do estatstico?
 b) Pode uma moeda que d 7 caras em 7 lanamentos ser uma moeda honesta? Existe essa chance?
 c) Explique o que  amostra.
 d) Como se usa uma amostra para prever a opinio de uma populao inteira?
 e) Por que se usa a amostra no lugar da populao inteira?
 f) Imagine que A e B sejam os candidatos  Presidncia do Brasil. Vou fazer uma pesquisa eleitoral e escolho uma amostra de eleitores. Se todos os eleitores da amostra forem de Manaus, voc acha que o resultado ir refletir a opinio da populao brasileira? Por qu?
<R->

<162>
 Ao

 Concluses a partir de uma 
  amostra

  Forme grupo com mais dois colegas. Cada grupo prepara 300 papeizinhos iguais. (No d tanto trabalho.  fcil dividir uma folha de papel em colunas e linhas, cada uma de 3 cm, e depois recortar. S a j foram obtidos uns 50 pedacinhos de papel.)
  Em 200 dos papis, o grupo escreve A; nos 100 restantes, escreve B.
  Misturem bem, coloquem dentro de um saco e sorteiem, sem olhar, 30 papeizinhos.
<p>
  Contem a quantidade de A e a de B, anotem os resultados e preparem um relatrio, respondendo s questes seguintes.
<R+>
  Nesta simulao, a populao  formada pelos 300 papeizinhos. Como se distribui essa populao em relao a A e a B?
  A amostra que vocs sortearam reflete, com alguma aproximao, o que acontece na populao?
  H alguma chance de se sortear uma amostra com 30 papeizinhos A e nenhum B? Em sua opinio, essa chance  grande ou pequena?

_`[{histria em quadrinhos_`]
 1 quadrinho: A menina diz ao menino: "Acho que essa eleio vai ser uma moleza!".
 2 quadrinho: A menina, enquanto o menino a observa, continua dizendo olhando uma folha de papel: "Minha pesquisa indica que voc j 
est com 92% dos votos, enquanto o seu adversrio tem 7% e os indecisos somam 1%...".
 3 quadrinho: O menino pergunta: "Indecisos?!". A menina afasta-se ainda observando as anotaes no papel.
 4 quadrinho: O menino agora sozinho diz: " incrvel pensar que numa escola como essa haja estudantes que no consigam se decidir a 
votar num cara como eu!".

 Problemas e exerccios

 25. Esta questo depende dos resultados da Ao. O professor escreve no quadro-de-giz os resultados dos sorteios de vrios grupos. Quatro grupos so sorteados e os resultados de suas amostras so somados.
 a) Quantos indivduos constituem a populao considerada? (Se houver 10 grupos, a populao ter 3.000 papeizinhos ou "indivduos".)
 b) Qual  a porcentagem real de indivduos tipo A na populao?
 c) Calculando a partir dos resultados da amostra, qual  a porcentagem de indivduos tipo A na populao?
 d) Qual  a diferena em "pontos percentuais" (isto , 2% ou 8% ou...) entre os resultados das duas questes anteriores?
 e) A amostra de 120 "indivduos" forneceu uma boa estimativa da porcentagem de indivduos tipo A na populao? Se isso no ocorreu, quais seriam as causas?

<163>
 26. Colocamos 2.000 bolas num saco. Elas so iguais em tudo, exceto na cor. Algumas so brancas, outras so pretas. Sorteamos trs amostras de 50 bolas. Veja os resultados:
<p>
 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l            _ brancas _ pretas _
 r::::::::::::w:::::::::w::::::::w
 l amostra 1 _ 12     _ 38    _
 r::::::::::::w:::::::::w::::::::w
 l amostra 2 _ 13     _ 37    _
 r::::::::::::w:::::::::w::::::::w
 l amostra 3 _ 11     _ 39    _
 h::::::::::::j:::::::::j::::::::j

  Com esses resultados, o que se pode concluir sobre a quantidade de bolas brancas do saco?

 27. Num saco, foram colocadas 100 bolas vermelhas e 500 amarelas, diferentes apenas na cor.
 a) Se as bolas forem sorteadas uma por uma, *sem que se olhe o resultado* e sem devolver as bolas sorteadas ao saco, quantas deverei tirar at ter *certeza absoluta* de que tirei uma vermelha?
 b) No sorteio de uma amostra de 30 bolas, pode acontecer de to-
<p>
  das elas serem vermelhas? So grandes as chances de isso ocorrer?
 c) No sorteio de uma amostra de 30 bolas, voc espera que saiam em torno de quantas vermelhas?

 28. Para saber qual  o time de futebol com a torcida mais numerosa do Brasil, foram entrevistados 1.000 torcedores que deixavam o estdio, depois de um jogo entre Corinthians e So Paulo. Entre esses torcedores, havia 551 corinthianos, 412 so-paulinos e os demais torciam por outros times. Com base nesses resultados,  possvel concluir que cerca de 55% dos brasileiros so corinthianos? H algo de errado nessa pesquisa estatstica? Explique.

 29. A tabela fornece o resultado de uma pesquisa, feita pelo DataFolha em 2000, sobre as torcidas dos times de futebol no Brasil.
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Time          _ Porcentagem _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Flamengo      _ 19%        _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Corinthians   _ 12%        _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Palmeiras     _ 8%         _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l So Paulo    _ 7%         _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Vasco         _ 5%         _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Cruzeiro      _ 3%         _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Grmio        _ 3%         _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Santos        _ 3%         _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Internacional _ 2%         _
 l   (RS)     _              _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Outros        _ 15%        _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l Nenhum time   _ 23%        _
 h::::::::::::::::j::::::::::::::j

  Os pesquisadores entrevistaram 2.500 pessoas com mais de 16 anos em 22 estados do Brasil. Considere que h 104 milhes de brasileiros com mais de 16 anos. Nesse tipo de pesquisa, costuma haver 95% de certeza de que os resultados refletem o que ocorre na populao com erro de 2% para mais ou menos. (Isto , a torcida do Flamengo deve estar entre 17% e 21%.)
 a) Qual  o tamanho da populao?
 b) Qual  o tamanho da amostra?
 c)  verdade que os so-paulinos so exatamente 7% da populao considerada?
 d) Aproximadamente, quantos brasileiros com mais de 16 anos torcem pelo Flamengo?

 30. Uma questo para pensar. Ela mostra como se estima a populao de animais de uma regio, sem cont-los um a um.
  Um bilogo capturou 100 pardais em um bosque, marcou-os com uma fita presa  pata e soltou-os em seguida. Dias depois, o bilogo capturou 150 pardais, dos quais 20 tinham a fita presa na pata. Estime quantos pardais vivem no bosque.

<164>
 Problemas e exerccios para casa

 31. Num saco, h 250 bolas brancas e 750 vermelhas, diferentes apenas na cor. Foram sorteadas seis amostras de 10 bolas e seis amostras de 40 bolas. Ao trmino de cada sorteio, as bolas eram recolocadas no saco antes de fazer o prximo sorteio.
  Veja os resultados:
<p> 
 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l porcentual de bolas brancas _
 r::::::::::::::::::::::::::::w
 l amostra de   _ amostra de   _
 l 10 bolas    _ 40 bolas    _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 30%        _ 22,5%      _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 40%        _ 25%        _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 30%        _ 30%        _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 30%        _ 25%        _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 20%        _ 20%        _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 50%        _ 22,5%      _
 h::::::::::::::j::::::::::::::j

 a) Qual  a mdia dos porcentuais nas amostras de 10 bolas?
 b) Qual  a mdia nas amostras de 40 bolas?
 c) Voc quer saber o nmero de bolas brancas de uma populao com 1.000 bolas, mas s pode 
<p>
  sortear uma amostra. Qual  melhor: uma amostra de 10 ou uma de 40 bolas? Por qu? 

 32. Em um saco, esto 10 bolas brancas e 20 bolas pretas, que diferem apenas na cor. Vamos fazer a experincia de se retirar uma bola, olhar sua cor e recoloc-la no saco. Imagine que a experincia  feita trs vezes e nas trs o resultado  bola branca. Qual a probabilidade de isso acontecer? *Dica*: use o mesmo raciocnio explicado no enunciado da atividade 4 deste captulo.

 33. Numa caixa fechada, h 60 bolas brancas e *x* bolas pretas, que s diferem na cor.  sorteada uma amostra de 40 bolas, dentre as quais 15 so brancas.
<p>
 a) Estime o total de bolas no saco.
 b) Estime o nmero de bolas pretas.

 34. Este retngulo colorido ser usado em um experimento:

 Legenda: 
 la: laranja
 vd: verde

 !::::::::::::
 l vd _ la _ la _
 r::::w::::w::::w
 l la _ la _ vd _
 r::::w::::w::::w
 l la _ vd _ la _
 r::::w::::w::::w
 l la _ la _ vd _
 h::::j::::j::::j

  cerque o retngulo com livros ou cadernos;
  a partir de uma altura de 15 cm, largue por 30 vezes uma bolinha de papel sobre o retngulo;
<p>
  anote quantas vezes a bolinha cai na regio laranja e quantas vezes cai na regio verde;
  quando a bolinha cai fora do retngulo, a jogada  refeita.
  A cor laranja cobre #;c ou, aproximadamente, 67% do retngulo. Assim, na teoria, a bolinha deve cair na regio laranja em cerca de 67% das vezes. Sua experincia confirma esse fato? Explique.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

<165>
 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  calcular a probabilidade de eventos em situaes relativas a dados, moedas, sorteios etc;
  ampliar habilidades relativas ao uso de informaes estatsticas (especialmente leitura e interpretao de grficos, tomada de decises com base em dados, construo de grficos e tabelas);
  explicar o que  pesquisa por amostragem, sua utilidade e seus limites.
<R->

 Um toque a mais

 Estatstica: de onde vem?

  A palavra *estatstica* s surgiu no sculo XVIII, mas muito antes dela j se faziam estatsticas. Conhecem-se tabelas de dados agrcolas, feitas pelos chineses cerca de 4.000 anos atrs. Essas tabelas ajudavam a planejar a produo de alimentos.
  Na antiguidade tambm se faziam recenseamentos, que constituem um tipo de pesquisa estatstica. Servem para obter informaes sobre a populao -- nmeros de habitantes, quantidade de alimentos produzidos, etc. Com esses dados, os governantes decidiam, por exemplo, quanto imposto cobrar e quantos homens recrutar para o exrcito.
  Ocorreu um censo por volta do ano 1 de nossa era, que foi importante para nossa civilizao ocidental. (A expresso *civilizao ocidental* aplica-se aos pases da Europa e das Amricas, cuja cultura derivou dos antigos gregos e romanos e cujas principais religies so baseadas nos ensinamentos de Jesus Cristo.)
  Pois bem, conta-se que Jesus, que originou as religies crists, nasceu na cidade de Belm, em Israel. Seus pais tiveram de ir a Belm, devido ao censo ordenado pelo imperador romano Augusto, que controlava a regio naquele tempo. Para o censo, as pessoas eram obrigadas a se deslocar para a cidade em que haviam nascido seus pais e foi o que fez Jos, o pai de Jesus. No fosse essa pesquisa estatstica, Jesus teria nascido em outro local e talvez no conhecssemos a imagem tradicional dos prespios, em que o recm-nascido  visto em uma espcie de estbulo para abrigar ovelhas e outros animais.
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  Por sculos, os recenseamentos foram as nicas pesquisas estatsticas importantes. Em 1662, entretanto, na Inglaterra, John Graunt organizou tabelas de nascimentos e de mortes. Entre outras coisas, ele descobriu algo novo: nascem mais meninos que meninas. A diferena  pequena (quase 51% para os meninos), mas ela continua ocorrendo at nossos dias.
  Parece que esse foi o ponto de partida para uma crescente preocupao com levantamento e anlise de dados, que continuaria at nossos dias.
  No sculo XVIII, foram os britnicos que impulsionaram a estatstica. Uma das razes para isso decorria do fato de a 
 Inglaterra ser, naquela poca, a nao mais desenvolvida do mundo. Tinha sido a primeira a explorar as mquinas a vapor e a construir grandes fbricas. Quem produz tem de vender; por isso, foram desenvolvidas tcnicas de planejamento, previso de gastos, otimizao de lucros. Tudo isso exige Matemtica e informaes numricas, uma reunio que deu origem  Estatstica como cincia.
  Um escocs (britnico, portanto) dessa poca, Willian Playfair, buscou vrias maneiras de representar dados numricos a partir de figuras, dando incio ao uso de grficos na estatstica. Em 1801 ele inventou um dos tipos de grfico mais usados atualmente: os grficos de setores.
  Outro estatstico ingls, o mdico Willian Farr, a partir de 1830 comeou a publicar anlises das condies de vida dos moradores pobres de Londres. Tanto insistiu que acabou convencendo as autoridades da necessidade de tratar a gua e construir redes de esgotos. Atualmente, sabemos que gua tratada e esgotos so a base da sade da populao, mas, antes de Farr, ningum dava ateno a isso! Aqui temos um bom exemplo da utilidade da estatstica em nossas vidas.
  No sculo XIX, a estatstica se difundiu. Grandes matemticos, como o alemo Gauss e o francs Laplace, deram suas contribuies. O belga Adolphe Qutelet difundiu a cincia, organizou o primeiro congresso internacional de estatstica e tornou moda o estudo das caractersticas das populaes humanas -- altura, massa, natalidade, mortalidade, renda etc. -- que at hoje se faz.

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 Legenda: Lambert Adolphe Jacques Quetelet 1796-
  -1874.
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  Aos poucos, as naes foram organizando instituies voltadas  estatstica. No Brasil, o principal  o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), fundado em 1938.
  Durante dois sculos a Estatstica dependeu dos numerosos clculos necessrios para calcular mdias, porcentagens, probabilidades etc. Centenas de pessoas eram contratadas unicamente para ficar fazendo contas, dia aps dia. No final do sculo XX, com o surgimento dos microcomputadores, essa dificuldade acabou, e foram abertas novas possibilidades para as pesquisas estatsticas.
  Esteja certo: em nossos dias, no h ramo de nossas vidas que no sofra influncia da Estatstica. Remdios ou refrigerantes, filmes ou roupas da moda, msica popular ou campanhas eleitorais, 
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tudo isso depende de pesquisas estatsticas. Dizem que at a escolha do final de uma novela de TV  feita a partir de uma pesquisa estatstica!

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Este texto foi adaptado de 
  *Estatstica*, da coleo *Pra que serve Matemtica?* De 
  Imenes, Jakubo e Lellis. So Paulo: Atual, 2009, 4. ed.
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Fim da Quarta Parte